Moving Average Time Series R

Usando R para Time Series Analysis Time Series Analysis Este folheto informa você como usar o software estatístico R para realizar algumas análises simples que são comuns na análise de dados de séries temporais. Este folheto pressupõe que o leitor possui algum conhecimento básico da análise de séries temporais e o foco principal do folheto não é explicar a análise de séries temporais, mas sim explicar como realizar essas análises usando R. Se você é novo em séries temporais Análise e quer aprender mais sobre qualquer um dos conceitos apresentados aqui, eu recomendo o livro Open University 8220Time series8221 (código de produto M24902), disponível na Open University Shop. Neste livreto, vou usar conjuntos de dados da série de tempo que foram gentilmente disponibilizados por Rob Hyndman em sua Time Series Data Library no robjhyndmanTSDL. Se você gosta deste folheto, você também pode verificar meu livreto no uso de R para estatísticas biomédicas, a-little-book-of-r-for-biomedical-statistics. readthedocs. org. E meu livreto sobre o uso de R para análise multivariada, pequeno-livro-de-r-for-multivariado-analysis. readthedocs. org. Dados da série de tempo de leitura A primeira coisa que você deseja fazer para analisar seus dados da série temporal será lê-lo em R e traçar as séries temporais. Você pode ler dados em R usando a função scan (), que assume que seus dados para pontos de tempo sucessivos estão em um arquivo de texto simples com uma coluna. Por exemplo, o arquivo robjhyndmantsdldatamisckings. dat contém dados sobre a idade da morte de reis sucessivos da Inglaterra, começando com William the Conqueror (fonte original: Hipel e Mcleod, 1994). O conjunto de dados parece assim: somente as primeiras linhas do arquivo foram exibidas. As primeiras três linhas contêm alguns comentários sobre os dados e queremos ignorar isso quando lemos os dados em R. Podemos usar isso usando o parâmetro 8220skip8221 da função scan (), que especifica quantas linhas no topo de O arquivo a ignorar. Para ler o arquivo em R, ignorando as três primeiras linhas, escrevemos: neste caso, a idade da morte de 42 reis sucessivos da Inglaterra foi lida na variável 8216kings8217. Depois de ler os dados da série temporal em R, o próximo passo é armazenar os dados em um objeto de séries temporais em R, para que você possa usar as diversas funções do R8217 para analisar dados da série temporal. Para armazenar os dados em um objeto de séries temporais, usamos a função ts () em R. Por exemplo, para armazenar os dados na variável 8216kings8217 como um objeto de séries temporais em R, nós escrevemos: às vezes o conjunto de dados da série de tempo que você Podem ter sido coletados em intervalos regulares que foram inferiores a um ano, por exemplo, mensais ou trimestrais. Neste caso, você pode especificar o número de vezes que os dados foram coletados por ano usando o parâmetro 8216frequency8217 na função ts (). Para dados de séries temporais mensais, você define a freqüência12, enquanto que para dados de séries temporais trimestrais, você define a freqüência4. Você também pode especificar o primeiro ano em que os dados foram coletados e o primeiro intervalo desse ano usando o parâmetro 8216start8217 na função ts (). Por exemplo, se o primeiro ponto de dados corresponder ao segundo trimestre de 1986, você estabeleceria startc (1986,2). Um exemplo é um conjunto de dados do número de nascimentos por mês na cidade de Nova York, de janeiro de 1946 a dezembro de 1959 (originalmente coletado por Newton). Estes dados estão disponíveis no arquivo robjhyndmantsdldatadatanybirths. dat Podemos ler os dados em R e armazená-lo como um objeto de séries temporais, digitando: De forma semelhante, o arquivo robjhyndmantsdldatadatafancy. dat contém vendas mensais para uma loja de souvenirs em uma cidade balnear em Queensland, Austrália, em janeiro de 1987 a dezembro de 1993 (dados originais de Wheelwright e Hyndman, 1998). Podemos ler os dados em R digitando: Traçando séries de tempo Depois de ler uma série de tempo em R, o próximo passo geralmente é fazer um gráfico dos dados da série temporal, o que você pode fazer com a função plot. ts () Em R. Por exemplo, para traçar as séries temporais da idade da morte de 42 reis sucessivos da Inglaterra, escrevemos: podemos ver a partir do gráfico do tempo que esta série temporal provavelmente poderia ser descrita usando um modelo aditivo, uma vez que as flutuações aleatórias Nos dados são aproximadamente constantes em tamanho ao longo do tempo. Do mesmo modo, para traçar as séries temporais do número de nascimentos por mês na cidade de Nova York, escrevemos: podemos ver a partir desta série de tempos que parece haver variação sazonal no número de nascimentos por mês: há um pico a cada verão , E a cada inverno. Novamente, parece que esta série de tempo provavelmente poderia ser descrita usando um modelo aditivo, pois as flutuações sazonais são aproximadamente constantes em tamanho ao longo do tempo e não parecem depender do nível da série temporal, e as flutuações aleatórias também parecem ser Tamanho quase igual ao longo do tempo. Da mesma forma, para traçar as séries temporais das vendas mensais para a loja de lembranças em uma cidade balnear em Queensland, Austrália, nós escrevemos: neste caso, parece que um modelo aditivo não é apropriado para descrever esta série de tempo, já que o tamanho Das flutuações sazonais e flutuações aleatórias parecem aumentar com o nível das séries temporais. Assim, talvez precisemos transformar a série temporal para obter uma série de tempo transformada que pode ser descrita usando um modelo aditivo. Por exemplo, podemos transformar as séries temporais calculando o log natural dos dados originais: Aqui podemos ver que o tamanho das flutuações sazonais e as flutuações aleatórias nas séries temporais log-transformadas parecem ser aproximadamente constantes ao longo do tempo e fazem Não depende do nível das séries temporais. Assim, as séries temporais log-transformadas provavelmente podem ser descritas usando um modelo aditivo. Decomposição de séries temporais A decomposição de uma série de tempos significa separá-la em seus componentes constituintes, que geralmente são um componente de tendência e um componente irregular, e se é uma série temporária sazonal, um componente sazonal. Decomposição de dados não sazonais Uma série temporal não sazonal consiste em um componente de tendência e um componente irregular. A descomposição da série temporal envolve a tentativa de separar a série temporal desses componentes, ou seja, estimar o componente de tendência e o componente irregular. Para estimar o componente de tendência de uma série temporal não-sazonal que pode ser descrita usando um modelo aditivo, é comum usar um método de suavização, como o cálculo da média móvel simples das séries temporais. A função SMA () no pacote 8220TTR8221 R pode ser usada para suavizar os dados da série temporal usando uma média móvel simples. Para usar esta função, primeiro precisamos instalar o pacote 8220TTR8221 R (para obter instruções sobre como instalar um pacote R, consulte Como instalar um pacote R). Depois de instalar o pacote 8220TTR8221 R, você pode carregar o pacote 8220TTR8221 R digitando: Você pode usar a função 8220SMA () 8221 para suavizar os dados da série temporal. Para usar a função SMA (), você precisa especificar a ordem (span) da média móvel simples, usando o parâmetro 8220n8221. Por exemplo, para calcular uma média móvel simples da ordem 5, definimos n5 na função SMA (). Por exemplo, como discutido acima, as séries temporais da idade da morte de 42 reis sucessivos de Inglaterra são não-sazonais, e provavelmente podem ser descritas usando um modelo aditivo, uma vez que as flutuações aleatórias nos dados são aproximadamente constantes em tamanho Tempo: Assim, podemos tentar estimar o componente de tendência desta série de tempo ao suavizar usando uma média móvel simples. Para suavizar as séries temporais usando uma média móvel simples da ordem 3 e plotar os dados da série temporizada suavizadas, nós escrevemos: Ainda parece haver bastante flutuações aleatórias nas séries temporais suavizadas usando uma simples média móvel da ordem 3. Assim, para estimar o componente de tendência de forma mais precisa, podemos querer tentar suavizar os dados com uma média móvel simples de uma ordem superior. Isso leva um pouco de teste e erro, para encontrar a quantidade certa de suavização. Por exemplo, podemos tentar usar uma média móvel simples da ordem 8: os dados alisados ​​com uma média móvel simples da ordem 8 dão uma imagem mais clara do componente de tendência, e podemos ver que a idade da morte dos reis ingleses parece Diminuiu de cerca de 55 anos para cerca de 38 anos durante o reinado dos primeiros 20 reis, e depois aumentou depois disso para cerca de 73 anos no final do reinado do 40º rei na série temporal. Decomposição de dados sazonais Uma série temporária sazonal consiste em um componente de tendência, um componente sazonal e um componente irregular. Descompactar a série temporal significa separar as séries temporais nestes três componentes: isto é, estimando esses três componentes. Para estimar o componente de tendência e componente sazonal de uma série de tempo sazonal que pode ser descrita usando um modelo aditivo, podemos usar a função 8220decompose () 8221 em R. Esta função estima os componentes de tendência, sazonal e irregular de uma série de tempo que Pode ser descrito usando um modelo aditivo. A função 8220decompose () 8221 retorna um objeto de lista como resultado, onde as estimativas do componente sazonal, componente de tendência e componente irregular são armazenadas em elementos nomeados desses objetos de lista, chamados 8220seasonal8221, 8220trend8221 e 8220random8221, respectivamente. Por exemplo, como discutido acima, a série temporal do número de nascimentos por mês na cidade de Nova York é sazonal com um pico a cada verão e a cada inverno, e provavelmente pode ser descrita usando um modelo aditivo, pois as flutuações sazonais e aleatórias parecem Seja aproximadamente constante em tamanho ao longo do tempo: para estimar a tendência, os componentes sazonais e irregulares desta série temporal, nós escrevemos: Os valores estimados dos componentes sazonais, tendenciais e irregulares agora são armazenados em variáveis ​​nascimento de partos, componentes de temporada, períodos de nascimento e tendência de nascimento. Por exemplo, podemos imprimir os valores estimados do componente sazonal digitando: Os fatores sazonais estimados são dados para os meses de janeiro a dezembro e são os mesmos para cada ano. O maior fator sazonal é para julho (cerca de 1,46), e o menor é para fevereiro (cerca de -2,08), indicando que parece haver um pico nos nascimentos em julho e uma vaca nos nascimentos em fevereiro de cada ano. Podemos traçar a tendência estimada, os componentes sazonais e irregulares das séries temporais usando a função 8220plot () 8221, por exemplo: o gráfico acima mostra a série temporal original (parte superior), o componente de tendência estimado (segundo da parte superior), O componente sazonal estimado (terceiro do topo) e o componente irregular estimado (parte inferior). Observamos que o componente de tendência estimado mostra uma pequena diminuição de cerca de 24 em 1947 para cerca de 22 em 1948, seguido por um aumento constante de então para cerca de 27 em 1959. Ajuste sazonal Se você tiver uma série de tempo sazonal que pode ser descrita usando Um modelo aditivo, você pode ajustar sazonalmente as séries temporais estimando o componente sazonal e subtraindo o componente sazonal estimado das séries temporais originais. Podemos fazer isso usando a estimativa do componente sazonal calculado pela função 8220decompose () 8221. Por exemplo, para ajustar sazonalmente as séries temporais do número de nascimentos por mês na cidade de Nova York, podemos estimar o componente sazonal usando 8220decompose () 8221 e, em seguida, subtrair o componente sazonal das séries temporais originais: podemos traçar o Série de tempo ajustada sazonalmente usando a função 8220plot () 8221, digitando: você pode ver que a variação sazonal foi removida da série de tempo ajustada sazonalmente. A série de tempo ajustada sazonalmente agora contém apenas o componente de tendência e um componente irregular. Previsões usando Suavização Exponencial O alisamento exponencial pode ser usado para fazer previsões de curto prazo para dados de séries temporais. Suavização exponencial simples Se você tiver uma série de tempo que pode ser descrita usando um modelo aditivo com nível constante e sem sazonalidade, você pode usar um alisamento exponencial simples para fazer previsões de curto prazo. O método de suavização exponencial simples fornece uma maneira de estimar o nível no ponto de tempo atual. O alisamento é controlado pelo parâmetro alfa para a estimativa do nível no ponto de tempo atual. O valor de alfa situa-se entre 0 e 1. Os valores de alfa que são próximos de 0 significam que pouco peso é colocado sobre as observações mais recentes ao fazer previsões de valores futuros. Por exemplo, o arquivo robjhyndmantsdldatahurstprecip1.dat contém precipitação anual total em polegadas para Londres, de 1813 a 1912 (dados originais de Hipel e McLeod, 1994). Podemos ler os dados em R e plotá-lo digitando: Você pode ver do gráfico que há um nível aproximadamente constante (a média permanece constante em aproximadamente 25 polegadas). As flutuações aleatórias nas séries temporais parecem ser aproximadamente constantes em tamanho ao longo do tempo, portanto, provavelmente é apropriado descrever os dados usando um modelo aditivo. Assim, podemos fazer previsões usando um alisamento exponencial simples. Para fazer previsões usando alisamento exponencial simples em R, podemos ajustar um modelo preditivo de alisamento exponencial simples usando a função 8220HoltWinters () 8221 em R. Para usar HoltWinters () para suavização exponencial simples, precisamos definir os parâmetros betaFALSE e gammaFALSE no Função HoltWinters () (os parâmetros beta e gamma são usados ​​para suavização exponencial de Holt8217s, ou suavização exponencial de Holt-Winters, conforme descrito abaixo). A função HoltWinters () retorna uma variável de lista, que contém vários elementos nomeados. Por exemplo, para usar o alisamento exponencial simples para fazer previsões para as séries temporais de precipitação anual em Londres, nós escrevemos: O resultado de HoltWinters () nos diz que o valor estimado do parâmetro alfa é de aproximadamente 0,024. Isso é muito próximo de zero, dizendo-nos que as previsões são baseadas em observações recentes e menos recentes (embora um pouco mais de peso seja colocado em observações recentes). Por padrão, HoltWinters () apenas faz previsões para o mesmo período de tempo coberto por nossa série temporal original. Nesse caso, nossa série temporal original incluiu chuvas para Londres de 1813 a 1912, então as previsões também são para 1813-1912. No exemplo acima, armazenamos a saída da função HoltWinters () na lista variável 8220rainseriesforecasts8221. As previsões feitas por HoltWinters () são armazenadas em um elemento nomeado dessa lista, variável chamada 8220fitted8221, para que possamos obter seus valores digitando: Podemos traçar as séries temporais originais contra as previsões digitando: A trama mostra a série temporal original em Preto, e as previsões como uma linha vermelha. A série temporal de previsões é muito mais lisa do que a série temporal dos dados originais aqui. Como medida da precisão das previsões, podemos calcular a soma de erros quadrados para os erros de previsão na amostra, ou seja, os erros de previsão para o período de tempo coberto por nossa série temporal original. O sum-of-squared-errors é armazenado em um elemento nomeado da lista variável 8220rainseriesforecasts8221 chamado 8220SSE8221, para que possamos obter seu valor digitando: isto é, aqui o sum-of-squared-errors é 1828.855. É comum em suavização exponencial simples usar o primeiro valor na série temporal como o valor inicial para o nível. Por exemplo, na série temporal de chuva em Londres, o primeiro valor é 23,56 (polegadas) para precipitação em 1813. Você pode especificar o valor inicial para o nível na função HoltWinters () usando o parâmetro 8220l. start8221. Por exemplo, para fazer previsões com o valor inicial do nível definido para 23.56, escrevemos: conforme explicado acima, por padrão HoltWinters () apenas faz previsões para o período de tempo coberto pelos dados originais, que é 1813-1912 para a precipitação Séries temporais. Podemos fazer previsões para mais pontos de tempo usando a função 8220forecast. HoltWinters () 8221 no pacote R 8220forecast8221. Para usar a função forecast. HoltWinters (), primeiro precisamos instalar o pacote 8220forecast8221 R (para obter instruções sobre como instalar um pacote R, consulte Como instalar um pacote R). Depois de instalar o pacote 8220forecast8221 R, você pode carregar o pacote 8220forecast8221 R digitando: Ao usar a função forecast. HoltWinters (), como seu primeiro argumento (entrada), você passa o modelo preditivo que você já instalou usando o Função HoltWinters (). Por exemplo, no caso da série temporal de precipitação, armazenamos o modelo preditivo feito usando HoltWinters () na variável 8220rainseriesforecasts8221. Você especifica quantos pontos de tempo você deseja fazer previsões ao usar o parâmetro 8220h8221 em forecast. HoltWinters (). Por exemplo, para fazer uma previsão de precipitação para os anos 1814-1820 (mais 8 anos) usando forecast. HoltWinters (), escrevemos: A função forecast. HoltWinters () fornece a previsão de um ano, um intervalo de 80 predições para A previsão e um intervalo de previsão de 95 para a previsão. Por exemplo, a precipitação prevista para 1920 é de cerca de 24,68 polegadas, com um intervalo de 95 predições de (16,24, 33,11). Para traçar as previsões feitas por forecast. HoltWinters (), podemos usar a função 8220plot. forecast () 8221: Aqui as previsões para 1913-1920 são traçadas como uma linha azul, o intervalo de 80 predições como área sombreada de laranja e 95, intervalo de predição como área sombreada amarela. Os 8216forecast errors8217 são calculados como os valores observados menos os valores previstos, para cada ponto do tempo. Só podemos calcular os erros de previsão para o período de tempo coberto por nossa série temporal original, que é 1813-1912 para os dados de precipitação. Como mencionado acima, uma medida da precisão do modelo preditivo é a soma de erros quadrados (SSE) para os erros de previsão na amostra. Os erros de previsão na amostra são armazenados no elemento nomeado 8220residuals8221 da variável de lista retornada por forecast. HoltWinters (). Se o modelo preditivo não puder ser melhorado, não deve haver correlações entre erros de previsão para previsões sucessivas. Em outras palavras, se houver correlações entre erros de previsão para previsões sucessivas, é provável que as previsões simples de suavização exponencial possam ser melhoradas por outra técnica de previsão. Para descobrir se este é o caso, podemos obter um correlograma dos erros de previsão na amostra para os atrasos 1-20. Podemos calcular um correlograma dos erros de previsão usando a função 8220acf () 8221 em R. Para especificar o atraso máximo que queremos observar, usamos o parâmetro 8220lag. max8221 em acf (). Por exemplo, para calcular um correlograma dos erros de previsão na amostra para os dados de precipitação de Londres por atrasos 1-20, nós escrevemos: você pode ver a partir do correlograma de amostra que a autocorrelação no lag 3 está apenas tocando os limites de significância. Para testar se há evidências significativas para correlações não-zero nos intervalos 1-20, podemos realizar um teste de Ljung-Box. Isso pode ser feito em R usando a função 8220Box. test () 8221. O atraso máximo que queremos observar é especificado usando o parâmetro 8220lag8221 na função Box. test (). Por exemplo, para testar se há autocorrelações não-zero nos intervalos 1-20, para os erros de previsão na amostra para dados de precipitação de Londres, nós escrevemos: Aqui, a estatística de teste de Ljung-Box é 17,4 e o valor de p é 0,6 , Portanto, há poucas evidências de autocorrelações não-zero nos erros de previsão na amostra aos intervalos 1-20. Para ter certeza de que o modelo preditivo não pode ser melhorado, também é uma boa idéia verificar se os erros de previsão são normalmente distribuídos com variância média zero e constante. Para verificar se os erros de previsão têm variação constante, podemos fazer um gráfico de tempo dos erros de previsão na amostra: o gráfico mostra que os erros de previsão na amostra parecem ter variância aproximadamente constante ao longo do tempo, embora o tamanho das flutuações em O início das séries temporais (1820-1830) pode ser um pouco menor do que em datas posteriores (por exemplo, 1840-1850). Para verificar se os erros de previsão são normalmente distribuídos com zero médio, podemos plotar um histograma dos erros de previsão, com uma curva normal superpurada que tem zero médio e o mesmo desvio padrão que a distribuição dos erros de previsão. Para fazer isso, podemos definir uma função R 8220plotForecastErrors () 8221, abaixo: você terá que copiar a função acima em R para usá-la. Você pode usar plotForecastErrors () para traçar um histograma (com curva normal sobreposta) dos erros de previsão para as previsões de precipitação: o gráfico mostra que a distribuição dos erros de previsão é aproximadamente centrada em zero e é distribuída mais ou menos normalmente, embora Parece ser um pouco distorcido para a direita em comparação com uma curva normal. No entanto, a inclinação certa é relativamente pequena e, portanto, é plausível que os erros de previsão sejam normalmente distribuídos com zero médio. O teste de Ljung-Box mostrou que há poucas evidências de autocorrelações não-zero nos erros de previsão na amostra, e a distribuição dos erros de previsão parece estar normalmente distribuída com zero médio. Isso sugere que o método de suavização exponencial simples fornece um modelo preditivo adequado para a precipitação londrina, que provavelmente não pode ser melhorado. Além disso, os pressupostos sobre os quais os intervalos de previsão de 80 e 95 foram baseados (que não existem autocorrelações nos erros de previsão, e os erros de previsão normalmente são distribuídos com zero médio e variância constante) provavelmente são válidos. Holt8217s Suavização exponencial Se você tem uma série de tempo que pode ser descrita usando um modelo aditivo com tendência crescente ou decrescente e sem sazonalidade, você pode usar o suavização exponencial Holt8217s para fazer previsões a curto prazo. O suavização exponencial de Holt8217s estima o nível e a inclinação no ponto de tempo atual. O alisamento é controlado por dois parâmetros, alfa, para a estimativa do nível no ponto de tempo atual e beta para a estimativa da inclinação b do componente de tendência no ponto de tempo atual. Tal como acontece com o alisamento exponencial simples, os parâmetros alfa e beta têm valores entre 0 e 1 e valores que são próximos de 0 significam que pouco peso é colocado nas observações mais recentes ao fazer previsões de valores futuros. Um exemplo de uma série de tempo que provavelmente pode ser descrito usando um modelo aditivo com uma tendência e nenhuma sazonalidade é a série temporal do diâmetro anual das saias da mulher 8217 na bainha, de 1866 a 1911. Os dados estão disponíveis no arquivo robjhyndmantsdldatarobertsskirts. Dat (dados originais de Hipel e McLeod, 1994). Podemos ler e plotar os dados em R digitando: podemos ver do enredo que houve um aumento no diâmetro de bainha de cerca de 600 em 1866 para cerca de 1050 em 1880 e que depois o diâmetro da bainha diminuiu para cerca de 520 em 1911 Para fazer previsões, podemos ajustar um modelo preditivo usando a função HoltWinters () em R. Para usar HoltWinters () para suavização exponencial de Holt8217s, precisamos definir o parâmetro gammaFALSE (o parâmetro gamma é usado para suavização exponencial Holt-Winters, como descrito abaixo). Por exemplo, para usar o suavização exponencial de Holt8217s para caber um modelo preditivo para o diâmetro da bainha da saia, nós escrevemos: O valor estimado de alfa é 0.84 e de beta é 1.00. Estes são ambos altos, dizendo-nos que tanto a estimativa do valor atual do nível, quanto a inclinação b do componente de tendência, baseiam-se principalmente em observações muito recentes na série temporal. Isso faz um bom senso intuitivo, já que o nível e a inclinação das séries temporais mudam muito ao longo do tempo. O valor dos erros de soma de quadrado para os erros de previsão na amostra é 16954. Podemos traçar a série temporal original como uma linha preta, com os valores previstos como uma linha vermelha em cima disso, digitando: Nós Pode ver da imagem que as previsões na amostra concordam muito bem com os valores observados, embora eles tendam a atrasar um pouco os valores observados. Se desejar, você pode especificar os valores iniciais do nível e a inclinação b do componente de tendência usando os argumentos 8220l. start8221 e 8220b. start8221 para a função HoltWinters (). É comum definir o valor inicial do nível para o primeiro valor na série temporal (608 para os dados das saias) e o valor inicial da inclinação para o segundo valor menos o primeiro valor (9 para os dados das saias). Por exemplo, para caber um modelo preditivo aos dados da bainha da saia usando o suavização exponencial de Holt8217s, com valores iniciais de 608 para o nível e 9 para a inclinação b do componente de tendência, nós escrevemos: quanto ao alisamento exponencial simples, podemos fazer previsões Para tempos futuros não cobertos pela série temporal original usando a função forecast. HoltWinters () no pacote 8220forecast8221. Por exemplo, nossos dados da série de tempo para os calçados da saia foram de 1866 a 1911, para que possamos fazer previsões para 1912 a 1930 (19 pontos de dados mais) e plotá-los, digitando: as previsões são mostradas como uma linha azul, com a 80 intervalos de previsão como uma área sombreada laranja e os 95 intervalos de previsão como uma área sombreada amarela. Quanto ao alisamento exponencial simples, podemos verificar se o modelo preditivo pode ser melhorado verificando se os erros de previsão na amostra mostram autocorrelações não-zero nos intervalos 1-20. Por exemplo, para os dados de bainha da saia, podemos fazer um correlograma e realizar o teste Ljung-Box, digitando: Aqui, o correlograma mostra que a autocorrelação da amostra para os erros de previsão na amostra no intervalo 5 excede os limites de significância. No entanto, esperamos que uma em cada 20 das autocorrelações para os primeiros vinte atrasos exceda os 95 limites de significados por acaso sozinhos. De fato, quando realizamos o teste Ljung-Box, o valor p é 0,47, indicando que há poucas evidências de autocorrelações não-zero nos erros de previsão na amostra aos intervalos 1-20. Quanto ao alisamento exponencial simples, também devemos verificar se os erros de previsão têm variação constante ao longo do tempo e normalmente são distribuídos com zero médio. Podemos fazer isso fazendo um gráfico temporal de erros de previsão e um histograma da distribuição de erros de previsão com uma curva normal superpuesta: o gráfico de tempo de erros de previsão mostra que os erros de previsão têm variância aproximadamente constante ao longo do tempo. O histograma de erros de previsão mostra que é plausível que os erros de previsão sejam normalmente distribuídos com variável zero e variável constante. Assim, o teste de Ljung-Box mostra que há pouca evidência de autocorrelações nos erros de previsão, enquanto o gráfico de tempo e histograma de erros de previsão mostram que é plausível que os erros de previsão sejam normalmente distribuídos com zero médio e variância constante. Portanto, podemos concluir que o suavização exponencial de Holt8217 fornece um modelo preditivo adequado para os diâmetros da bainha da saia, o que provavelmente não pode ser melhorado. Além disso, isso significa que os pressupostos sobre os quais os intervalos de previsão de 80 e 95 foram baseados são provavelmente válidos. Suavização exponencial Holt-Winters Se você possui uma série de tempo que pode ser descrita usando um modelo aditivo com tendência crescente ou decrescente e sazonalidade, você pode usar o suavização exponencial de Holt-Winters para fazer previsões de curto prazo. O suavização exponencial de Holt-Winters estima o nível, inclinação e componente sazonal no ponto de tempo atual. O alisamento é controlado por três parâmetros: alfa, beta e gama, para as estimativas do nível, a inclinação b do componente de tendência eo componente sazonal, respectivamente, no ponto de tempo atual. Os parâmetros alfa, beta e gama têm valores entre 0 e 1, e valores que são próximos de 0 significam que um peso relativamente pequeno é colocado nas observações mais recentes ao fazer previsões de valores futuros. Um exemplo de uma série de tempo que provavelmente pode ser descrito usando um modelo aditivo com tendência e sazonalidade é a série temporal do registro de vendas mensais para a loja de lembranças em uma cidade balnear de Queensland, Austrália (discutida acima): fazer Previsões, podemos ajustar um modelo preditivo usando a função HoltWinters (). Por exemplo, para caber um modelo preditivo para o log das vendas mensais na loja de lembranças, nós escrevemos: Os valores estimados de alfa, beta e gama são 0,41, 0,00 e 0,96, respectivamente. O valor de alfa (0,41) é relativamente baixo, indicando que a estimativa do nível no ponto do tempo atual é baseada em observações recentes e algumas observações no passado mais distante. O valor de beta é 0,00, o que indica que a estimativa da inclinação b do componente de tendência não é atualizada ao longo da série temporal e, em vez disso, é definida como igual ao seu valor inicial. Isso faz um bom senso intuitivo, já que o nível muda um pouco sobre as séries temporais, mas a inclinação b do componente de tendência permanece aproximadamente igual. Em contraste, o valor da gama (0,96) é alto, indicando que a estimativa do componente sazonal no momento atual é apenas baseada em observações muito recentes. Quanto ao suavização exponencial simples e ao suavização exponencial de Holt8217, podemos traçar a série temporal original como uma linha preta, com os valores previstos como uma linha vermelha em cima disso: vemos do gráfico que o método exponencial de Holt-Winters é muito bem-sucedido Na previsão dos picos sazonais, que ocorrem aproximadamente em novembro de cada ano. Para fazer previsões para tempos futuros não incluídos na série temporal original, usamos a função 8220forecast. HoltWinters () 8221 no pacote 8220forecast8221. Por exemplo, os dados originais para as vendas de lembranças são de janeiro de 1987 a dezembro de 1993. Se quisermos fazer previsões para janeiro de 1994 a dezembro de 1998 (mais 48 meses) e plotar as previsões, digitaremos: as previsões são mostradas como Uma linha azul e as áreas sombreadas laranja e amarela mostram 80 e 95 intervalos de predição, respectivamente. Podemos investigar se o modelo preditivo pode ser melhorado verificando se os erros de previsão na amostra mostram autocorrelações não-zero nos intervalos 1-20, fazendo um correlograma e realizando o teste de Ljung-Box: o correlograma mostra que as autocorrelações Para os erros de previsão na amostra não exceder os limites de significância para os atrasos 1-20. Além disso, o valor p para teste Ljung-Box é 0.6, indicando que há pouca evidência de autocorrelações não-zero nos intervalos 1-20. Podemos verificar se os erros de previsão têm variação constante ao longo do tempo, e normalmente são distribuídos com zero médio, fazendo um gráfico de tempo dos erros de previsão e um histograma (com curva normal superpurada): do gráfico de tempo, parece plausível que o Os erros de previsão têm variação constante ao longo do tempo. A partir do histograma de erros de previsão, parece plausível que os erros de previsão sejam normalmente distribuídos com zero médio. Assim, há pouca evidência de autocorrelação nos atrasos 1-20 para os erros de previsão, e os erros de previsão aparecem normalmente distribuídos com zero médio e variação constante ao longo do tempo. Isso sugere que o suavização exponencial de Holt-Winters fornece um modelo preditivo adequado do registro de vendas na loja de lembranças, que provavelmente não pode ser melhorado. Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models Exponential smoothing methods are useful for making forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series. However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account. Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series ARIMA models are defined for stationary time series. Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to 8216difference8217 the time series until you obtain a stationary time series. If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA(p, d,q) model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the 8220diff()8221 function in R. For example, the time series of the annual diameter of women8217s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time: We can difference the time series (which we stored in 8220skirtsseries8221, see above) once, and plot the differenced series, by typing: The resulting time series of first differences (above) does not appear to be stationary in mean. Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series: Formal tests for stationarity Formal tests for stationarity called 8220unit root tests8221 are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences (above) does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time. Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA(p, d,q) model for your time series, where d is the order of differencing used. For example, for the time series of the diameter of women8217s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing (d) is 2. This means that you can use an ARIMA(p,2,q) model for your time series. The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England (see above): From the time plot (above), we can see that the time series is not stationary in mean. To calculate the time series of first differences, and plot it, we type: The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA(p,1,q) model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England. By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component. We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA(p, d,q) model. To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions in R, respectively. To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set 8220plotFALSE8221 in the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type: We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 (-0.360) exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the 8220pacf()8221 function, by typing: The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag (lag 1: -0.360, lag 2: -0.335, lag 3:-0.321). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3. Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA (autoregressive moving average) models are possible for the time series of first differences: an ARMA(3,0) model, that is, an autoregressive model of order p3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(0,1) model, that is, a moving average model of order q1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero an ARMA(p, q) model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero (although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate) We use the principle of parsimony to decide which model is best: that is, we assum e that the model with the fewest parameters is best. The ARMA(3,0) model has 3 parameters, the ARMA(0,1) model has 1 parameter, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, the ARMA(0,1) model is taken as the best model. An ARMA(0,1) model is a moving average model of order 1, or MA(1) model. This model can be written as: Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where Xt is the stationary time series we are studying (the first differenced series of ages at death of English kings), mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA (moving average) model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut: the auto. arima() function The auto. arima() function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg. type 8220library(forecast)8221, then 8220auto. arima(kings)8221. The output says an appropriate model is ARIMA(0,1,1). Since an ARMA(0,1) model (with p0, q1) is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA(0,1,1) model (with p0, d1, q1, where d is the order of differencing required). Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere Let8217s take another example of selecting an appropriate ARIMA model. The file file robjhyndmantsdldataannualdvi. dat contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 (original data from Hipel and Mcleod, 1994). This is a measure of the impact of volcanic eruptions8217 release of dust and aerosols into the environment. We can read it into R and make a time plot by typing: From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time. Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series (the order of differencing required, d, is zero here). We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use: We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3. The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag (lag 1: 0.666, lag 2: 0.374, lag 3: 0.162). The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds (especially for lag 19), the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds (0.666), while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds (-0.126). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2. Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series: an ARMA(2,0) model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2 an ARMA(0,3) model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(p, q) mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero (although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate) Shortcut: the auto. arima() function Again, we can use auto. arima() to find an appropriate model, by typing 8220auto. arima(volcanodust)8221, which gives us ARIMA(1,0,2), which has 3 parameters. However, different criteria can be used to select a model (see auto. arima() help page). If we use the 8220bic8221 criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA(2,0,0), which is ARMA(2,0): 8220auto. arima(volcanodust, ic8221bic8221)8221. The ARMA(2,0) model has 2 parameters, the ARMA(0,3) model has 3 parameters, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA(2,0) model and ARMA(p, q) model are equally good candidate models. An ARMA(2,0) model is an autoregressive model of order 2, or AR(2) model. This model can be written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Xt is the stationary time series we are studying (the time series of volcanic dust veil index), mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR (autoregressive) model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA(2,0) model (with p2, q0) is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA(2,0,0) model can be used (with p2, d0, q0, where d is the order of differencing required). Similarly, if an ARMA(p, q) mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA(p,0,q) model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model Once you have selected the best candidate ARIMA(p, d,q) model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA(p, d,q) model using the 8220arima()8221 function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, we discussed above that an ARIMA(0,1,1) model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England. You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the 8220order8221 argument of the 8220arima()8221 function in R. To fit an ARIMA(p, d,q) model to this time series (which we stored in the variable 8220kingstimeseries8221, see above), we type: As mentioned above, if we are fitting an ARIMA(0,1,1) model to our time series, it means we are fitting an an ARMA(0,1) model to the time series of first differences. An ARMA(0,1) model can be written Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where theta is a parameter to be estimated. From the output of the 8220arima()8221 R function (above), the estimated value of theta (given as 8216ma18217 in the R output) is -0.7218 in the case of the ARIMA(0,1,1) model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals You can specify the confidence level for prediction intervals in forecast. Arima() by using the 8220level8221 argument. For example, to get a 99.5 prediction interval, we would type 8220forecast. Arima(kingstimeseriesarima, h5, levelc(99.5))8221. We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the 8220forecast. Arima()8221 function in the 8220forecast8221 R package. For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type: The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings. The forecast. Arima() function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings (kings 43-47), as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions. The age of death of the 42nd English king was 56 years (the last observed value in our time series), and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67.8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA(0,1,1) model, by typing: As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA(0,1,1) model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing: Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0.9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20. To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram (with overlaid normal curve) of the forecast errors: The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time (though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series). The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero. Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA(0,1,1) does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA(2,0,0) model. To fit an ARIMA(2,0,0) model to this time series, we can type: As mentioned above, an ARIMA(2,0,0) model can be written as: written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated. The output of the arima() function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0.7533 and -0.1268 here (given as ar1 and ar2 in the output of arima()). Now we have fitted the ARIMA(2,0,0) model, we can use the 8220forecast. ARIMA()8221 model to predict future values of the volcanic dust veil index. The original data includes the years 1500-1969. To make predictions for the years 1970-2000 (31 more years), we type: We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing: One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima() and forecast. Arima() functions don8217t know that the variable can only take positive values. Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance. To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test: The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds. However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds. Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0.2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20. To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram: The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time. However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean. We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0.22: The histogram of forecast errors (above) shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve. Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA(2,0,0) model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon Links and Further Reading Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the 8220Kickstarting R8221 website, cran. r-project. orgdoccontribLemon-kickstart . There is another nice (slightly more in-depth) tutorial to R available on the 8220Introduction to R8221 website, cran. r-project. orgdocmanualsR-intro. html . You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage . To learn about time series analysis, I would highly recommend the book 8220Time series8221 (product code M24902) by the Open University, available from the Open University Shop . There are two books available in the 8220Use R8221 series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. Acknowledgements I am grateful to Professor Rob Hyndman. for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library (TSDL) in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, 8220Time series8221 (product code M24902), available from the Open University Shop . Thank you to Ravi Aranke for bringing auto. arima() to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors(). Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me (Avril Coghlan) corrections or suggestions for improvements to my email address alc 64 sanger 46 ac 46 ukTime Series Analysis and Its Applications: With R Examples R time series quick fix The page uses JavaScript for syntax highlighting. Its not necessary to turn it on, but the code will be harder to read. This is just a brief stroll down time seRies lane. My advice is to open R and play along with the tutorial. Hopefully, you have installed R and found the icon on your desktop that looks like an R. well, it is an R. If youre using Linux, then stop looking because its not there. just open a terminal and enter R (or install R Studio.) If you want more on time series graphics, particularly using ggplot2. see the Graphics Quick Fix . The quick fix is meant to expose you to basic R time series capabilities, and is rated fun for people ages 8 to 80. This is not a lesson in time series analysis, but there is tsaEZ. a free and easy introduction to time series analysis. loz Baby steps. your first R session. Get comfortable, then start her up and try some simple addition: Ok, now youre an expert use R . were going to get astsa now: Now that youre loaded, we can start. lets go First, well play with the Johnson amp Johnson data set. Its included in astsa as jj. that dynOmite character from Good Times. First, look at it. and you see that jj is a collection of 84 numbers called a time series object. To seeremove your objects: If you are a Matlab (or similar) user, you may think jj is an 84 times 1 vector, but its not. It has order and length, but no dimensions (no rows, no columns). R calls these kinds of objects vectors so you have to be careful. In R, matrices have dimensions but vectors do not - they just sort of dangle about in cyberspace. Now, lets make a monthly time series object that starts in June of the year 2293. We enter the Vortex. Note that the Johnson and Johnson data are quarterly earnings, hence it has frequency4. The time series zardoz is monthly data, hence it has frequency12. You also get some useful things with the ts object, for example: Now try a plot of the Johnson Johnson data: The graph shown is a little more fancy than the code will give. For details, see the Graphics Quick Fix page. This goes for the rest of the plots you will see here. Try these and see what happens: and while youre here, check out plot. ts and ts. plot. Note that if your data are a time series object, plot() will do the trick (for a simple time plot, that is). Otherwise, plot. ts() will coerce the graphic into a time plot. How about filteringsmoothing the Johnson amp Johnson series using a two-sided moving average Lets try this: fjj(t) 8539 jj(t-2) frac14 jj(t-1) frac14 jj(t) frac14 jj(t1) 8539 jj(t2) and well add a lowess ( lowess - you know the routine) fit for fun. Lets difference the logged data and call it dljj. Then well play with dljj. Now a histogram and a Q-Q plot, one on top of the other (but in a nice way): Lets check out the correlation structure of dljj using various techniques. First, well look at a grid of scatterplots of dljj(t) versus lagged values. The lines are a lowess fit and the sample acf is blue in the box. Now lets take a look at the ACF and PACF of dljj. Note that the LAG axis is in terms of frequency. so 1,2,3,4,5 correspond to lags 4,8,12,16,20 because frequency4 here. If you dont like this type of labeling, you can replace dljj in any of the above by ts(dljj, freq1) e. g. acf(ts(dljj, freq1), 20) Moving on, lets try a structural decomposition of log(jj) trend season error using lowess. If you want to inspect the residuals, for example, theyre in dogtime. series,3. the third column of the resulting series (the seasonal and trend components are in columns 1 and 2). Check out the ACF of the residuals, acf(dogtime. series,3) the residuals arent white - not even close. You can do a little (very little) better using a local seasonal window, as opposed to the global one used by specifying per. Type stl for details. Theres also something called StructTS that will fit parametric structural models. We dont use these functions in the text when we present structural modeling in Chapter 6 because we prefer to use our own programs. loz This is a good time to explain . In the above, dog is an object containing a bunch of things (technical term). If you type dog. youll see the components, and if you type summary(dog) youll get a little summary of the results. One of the components of dog is time. series. which contains the resulting series (seasonal, trend, remainder). To see this component of the object dog. you type dogtime. series (and youll see 3 series, the last of which contains the residuals). And thats the story of . youll see more examples as we move along. And now well do a problem from Chapter 2. Were going to fit the regression log(jj) betatime alpha 1 Q1 alpha 2 Q2 alpha 3 Q3 alpha 4 Q4 epsilon where Qi is an indicator of the quarter i 1,2,3,4. Then well inspect the residuals. You can view the model matrix (with the dummy variables) this way: Now check out what happened. Look at a plot of the observations and their fitted values: which shows that a plot of the data with the fit superimposed is not worth the cyberspace it takes up. But a plot of the residuals and the ACF of the residuals is worth its weight in joules: Do those residuals look white Ignore the 0-lag correlation, its always 1. Hint: The answer is NO. so the regression above is nugatory. So whats the remedy Sorry, youll have to take the class because this is not a lesson in time series. I warned you up at the top. You have to be careful when you regress one time series on lagged components of another using lm(). There is a package called dynlm that makes it easy to fit lagged regressions, and Ill discuss that right after this example. If you use lm(). then what you have to do is tie the series together using ts. intersect. If you dont tie the series together, they wont be aligned properly. Heres an example regressing weekly cardiovascular mortality ( cmort ) on particulate pollution ( part ) at the present value and lagged four weeks (about a month). For details about the data set, see Chapter 2. Make sure astsa is loaded. Note: There was no need to rename lag(part,-4) to part4. its just an example of what you can do. An alternative to the above is the package dynlm which has to be installed, of course (like we did for astsa up there at the beginning). After the package is installed, you can do the previous example as follows: Well, its time to simulate. The workhorse for ARIMA simulations is arima. sim(). Here are some examples no output is shown here so youre on your own. Using astsa its easy to fit an ARIMA model: You might be wondering about the difference between aic and AIC above. For that you have to read the text or just dont worry about it because its not worth ruining your day thinking about it. And yes, those residuals look white. If you want to do ARIMA forecasting, sarima. for is included in astsa. And now for some regression with autocorrelated errors . Were going to fit the model M t alpha betat gammaP t e t where M t and P t are the mortality ( cmort ) and particulates ( part ) series, and e t is autocorrelated error. First, do an OLS fit and check the residuals: Now fit the model The residual analysis (not shown) looks perfect. Heres an ARMAX model, M t beta 0 phi 1 M t-1 phi 2 M t-2 beta 1 t beta 2 T t-1 beta 3 P t beta 4 P t-4 e t . where e t is possibly autocorrelated. First we try and ARMAX(p2, q0), then look at the residuals and realize theres no correlation left, so were done. Finally, a spectral analysis quicky: Thats all for now. If you want more on time series graphics, see the Graphics Quick Fix page.